\begin{section}{Introducción teórica}

Para poder resolver los problemas que se plantearon en el trabajo práctico utilizamos diversos algoritmos y propiedades sobre el Álgebra Matricial y Sistemas de Ecuaciones Lineales.
\begin{subsection}{Metodos de Resolucion de Sitemas Lineales}
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Para poder resolver las ecuaciones que se presentaron en los sistemas lineales se utilizó el algoritmo de Eliminación Gaussiana con pivoteo parcial. Este algoritmo se utilizó para calcular inversas de matrices, que luego se usaron para resolver el las ecuaciones lineales.

El algorítmo se define de la siguiente manera:
\begin{enumerate}
	\item Ir a la columna no cero extrema izquierda.
	\item Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga.
	\item Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
	\item Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones. 
	\item Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.
	\end{enumerate}
Este algoritmo tiene la ventaja de ser simple para programar y con una complegidad temporal del orden de $n^{3}$, el cual es aceptable para la dimensión de las matrices con las que se trabajará, que son de dimension acotada.

Para minimizar el error que se produce al trabajar con aritmética finita de punto flotante, se utilizó la estrategia de pivoteo parcial. 

Este método consiste en encontrar el máximo valor en la columna en que se quiere poner ceros. Se intercambia la fila donde se encontró este valor máximo por la fila en donde este valor ahora apertenecería a la diagonal de la matriz. De esta forma, este valor se convierte en nuestro "pivote" y todas las cuentas de división se realizarán con este valor como divisor. Esto reduce considerablemente el error numérico, ya que al trabajar con números muy cercanos al cero los resultados de la división pueden ser considerablemente grandes,con lo que cambiar el divisor por un número mas grande reduce el error producido. 
\end{subsection} %--- Interpolación

\begin{subsection}{Matrices y Propiedades}
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En este trabajo se utilizaran matrices con ciertas caracteristicas y propiedades. Por enunciado, todas las matrices utilizadas deberan ser inversibles.

Las matrices inversibles tienen varias propiedades con las que trabajaremos en este informe. Sea $A$ una matriz inversible y $A^{-1}$ su inversa.

\begin{itemize}
	\item det(\text{A})$\neq 0$
	\item $A.A^{-1} = A^{-1}.A = Id$
	\item $(A^{-1})^{-1}=A$   
\end{itemize}

Haremos particular énfasis en el numero de condición de una matriz, tambien llamado K(\text{A})\footnote{Ver {\sf Métodos iterativos en el Álgebra Matricial, pag 456} en {\em Análisis Numérico}\cite{burden} }

El número de condición será tratado durante casi todo el informe y su comprensión es de gran importancia, ya que dicho en pocas palabras, a medida que el número de condición de una matriz se aleje de valer 1, mas imprecisos seran los calculos que se efectúen sobre ella debido a la aritmética finita de punto flotante.

\end{subsection} 
\begin{subsection}{Matriz de Hilbert}
La matriz de Hilbert es una matriz cuya formula es la siguiente:

$$H_{ij} = \dfrac{1}{i+j-1}$$ 

La matriz de Hilbert $\in \mathbb{R}^{5x5}$ es la siguiente

$$
\begin{bmatrix}
\frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\\ 
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6}\\
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7}\\
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8}\\
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9}\\
\end{bmatrix}
$$

Esta matriz tiene algunas propiedades que nos interesan para este trabajo
\begin{itemize}
	\item Es una matriz totalmente positiva \footnote{Ver Rowland, Todd. ''Totally Positive Matrix.'' From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. en {\em http://mathworld.wolfram.com/TotallyPositiveMatrix.html} }
	\item El numero de condicion de esta matriz es significativamente alto.
\end{itemize}



\end{subsection}
\end{section}

